Question

（05年天津卷）（12分）

如圖，在斜三棱柱中，，，，側面與底面ABC所成的二面角為120，E、F分別是棱、的中點。

（Ⅰ）求與底面ABC所成的角；

（Ⅱ）證明EA∥平面；

（Ⅲ）求經(jīng)過、A、B、C四點的球的體積。

Answer 1

解析：（I）過作平面平面，垂足為。連接，并延長交于，連接，于是為與底面所成的角。

因為，所以為的平分線

又因為，所以，且為的中點

因此，由三垂線定理

因為，且，所以，于是為二面角的平面角，即

由于四邊形為平行四邊形，得

所以，與底面所成的角度為

（II） 證明：設與的交點為，則點P為EG的中點，連結PF。

在平行四邊形中，因為F是的中點，所以

而EP平面，平面，所以平面

（III）解：連接。在△和△中，
 △△

又因為平面，所以是△的外心

設球心為，則必在上，且

在Rt△中，△

球的體積△