Question

已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，
求面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，
所以，                                     ……………1分
又橢圓的離心率為，即，所以，       ………………2分
所以，.                                       ………………4分
所以，橢圓的方程為.                     ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)的方程，則的方程為.
由得，           ………………6分
設(shè)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823181802246642.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，                    ………………7分
同理可得，                                    ………………8分
所以，，       ………………10分
，                     ………………12分
設(shè)，
則，                             ………………13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最大值為.                             ………………14分
方法二：不妨設(shè)直線(xiàn)的方程.
由 消去得，      ………………6分
設(shè)，，
則有，.   ①                 ………………7分
因?yàn)橐?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823181801809235.gif" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以.
由 ，
得 .                               ………………8分
將代入上式，
得.
將 ① 代入上式，解得 或（舍）.               ………………10分
所以（此時(shí)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)），
所以
.   ……………12分
設(shè)，
則.
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.                ……………14分

略