Question

某公園的大型中心花園的邊界為橢圓，花園內(nèi)種植各種花草，為增強(qiáng)觀賞性，在橢圓內(nèi)以其中心為直角頂點且關(guān)于中心對稱的兩個直角三角形內(nèi)種植名貴花草，并以該直角三角形斜邊開辟觀賞小道(不計小道的寬度)，某園林公司承接了該中心花園的施工建設(shè)，在施工時發(fā)現(xiàn)，橢圓邊界上任意一點到橢圓兩焦點距離和為4(單位：百米)，且橢圓上點到焦點的最近距離為1(單位：百米)，
(1)試以橢圓中心為原點建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)請計算觀賞小道的長度(不計小道寬度)的最大值。

Answer 1

解：(1)如圖，以兩焦點連線為x軸，中心為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)橢圓的方程為1(a＞b＞0)， 由已知，2a=4，a-c=1， ∴a=2，c=1， ∴， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

(2)①若該直角三角形斜邊所在的直線的斜率存在且不為0， 設(shè)直角三角形斜邊所在直線方程為y=kx+m， 該直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立方程組得3x2+4(kx+m)2=12， 即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0， 則Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)＞0，即4k2-m2+3＞0， ， y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ， 要使△AOB為直角三角形，需使x1x2+y1y2=0， 即， 所以7m2-12k2-12=0， 即， 故4k2-m2+3=4k2+3-， 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立； ②若該直角三角形斜邊所在的直線的斜率不存在或斜率為0， 則斜邊長為； 綜上可知，觀賞小道長度的最大值為百米。