Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和s_n，函數(shù)f(x)=

1

2

px2-(p+q)x+qlnx．（其中p，q均為常數(shù)，且p＞q＞0），當(dāng)x=a₁時，函數(shù)f（x）取得極小值，點（a_n，2s_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=2px²-

q

x

+f′（x）+q的圖象上（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）求a₁的值
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為0求得x，進而根據(jù)x變化時f'（x）和f（x）的變化情況確定函數(shù)f（x）的極小值．求得a₁．
（2）依題意可知y=2px2-

q

x

+f'（x）+q=2px²+px-p，進而把點（a_n，2s_n）代入求得2S_n=2a_n²+a_n-1，進而利用a_n=s_n-s_n-1，求得數(shù)列的遞推式，整理求得a_n-a_n-1-

1

2

=0推斷出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得a_n．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=px-（p+q）+

q

x

=

(x-1)(px-q)

x

令f'（x）=0，得x=1或x=

q

p

，
∵0＜

q

p

＜1
當(dāng)x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）處取得極小值，即a₁=1．
（2）依題意，y=2px2-

q

x

+f'（x）+q=2px²+px-p，2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，
所以2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1
∴2S_n=2a_n²+a_n-1
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1
兩式相減求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-

1

2

）=0，
∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值，數(shù)列遞推式求通項公式等．考查了考試綜合分析問題和解決問題的能力．