Question

如圖，已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y²=2x的頂點(diǎn)O，A、B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB=90°．
（1）證明直線AB必過一定點(diǎn)；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

證明：（1）設(shè)OA所在直線的方程為y=kx（k≠0），則直線OB的方程為y=-

1

k

x，
由

y=kx y2=2x

解得

x=0 y=0

或

x= 2 k2 y= 2 k

即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

k2

，

2

k

）．
同樣由

y=- 1 k x y2=2x

解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2k²，-2k）．
∴AB所在直線的方程為y+2k=

2 k +2k

2 k2 -2k2

（x-2k²），
化簡(jiǎn)并整理，得（

1

k

-k）y=x-2．
不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，恒有y=0．
故直線過定點(diǎn)P（2，0）．
（2）解　由于AB所在直線過定點(diǎn)P（2，0），所以可設(shè)AB所在直線的方程為x=my+2．
由

x=my+2 y2=2x

消去x并整理得y²-2my-4=0．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
于是|y₁-y₂|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(2m)2+16

=2

m2+4

．
S_△AOB=

1

2

×|OP|×（|y₁|+|y₂|）
=

1

2

|OP|•|y₁-y₂|=

1

2

×2×2

m2+4

=2

m2+4

．
∴當(dāng)m=0時(shí)，△AOB的面積取得最小值為4．