Question

如圖，已知△AOB的一個頂點為拋物線y²=2x的頂點O，A、B兩點都在拋物線上，且∠AOB=90°．
（1）證明直線AB必過一定點；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意先設(shè)OA所在直線的方程為y=kx（k≠0），由垂直關(guān)系得直線OB的方程為y=-x，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立方程組求出A點的坐標(biāo)，B點的坐標(biāo)，從而得出AB所在直線的方程，化簡并整理即可得出直線過定點P（2，0）．
（2）由于AB所在直線過定點P（2，0），所以可設(shè)AB所在直線的方程為x=my+2．將直線的方程代入拋物線的方程消去x并整理得y²-2my-4=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可求出S_△AOB的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△AOB的面積取得最小值為4．
解答：證明：（1）設(shè)OA所在直線的方程為y=kx（k≠0），則直線OB的方程為y=-x，
由解得或
即A點的坐標(biāo)為（，）．
同樣由解得B點的坐標(biāo)為（2k²，-2k）．
∴AB所在直線的方程為y+2k=（x-2k²），
化簡并整理，得（-k）y=x-2．
不論實數(shù)k取任何不等于0的實數(shù)，當(dāng)x=2時，恒有y=0．
故直線過定點P（2，0）．
（2）解 由于AB所在直線過定點P（2，0），所以可設(shè)AB所在直線的方程為x=my+2．
由消去x并整理得y²-2my-4=0．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
于是|y₁-y₂|====2．
S_△AOB=×|OP|×（|y₁|+|y₂|）
=|OP|•|y₁-y₂|=×2×2=2．
∴當(dāng)m=0時，△AOB的面積取得最小值為4．
點評：本題考查直線過定點的證明，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運用．