Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足2S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N）．求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)，由此推導(dǎo)出{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，從而求出a_n=（

1

3

）ⁿ．由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N），得

1

b1

=1，

2

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，由此推導(dǎo)出{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出b_n=

1

n

解答： 解：由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴3a_n=a_n-1，
由題意知a_n-1≠0，∴

an

an-1

=

1

3

，
又S1=a1=

1

2

(1-a1)，解得a1=

1

3

，
∴{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn+1

+

1

bn+2

（n∈N），
得

1

b1

=1，

2

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．