Question

如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，，M是線段B₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求三棱錐D₁-AB₁C的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由四邊形D₁OBM是平行四邊形得D₁O∥BM，由線面平行的判定得到BM∥平面D₁AC
（Ⅱ）由OB₁⊥D₁O，AC⊥D₁O，得到D₁O⊥平面AB₁C，確定D₁O為三棱錐D₁-AB₁C的高，同時確定△AB₁C為底．
解答：解：（Ⅰ）連接D₁O，如圖，
∵O、M分別是BD、B₁D₁的中點，BD₁D₁B是矩形，
∴四邊形D₁OBM是平行四邊形，
∴D₁O∥BM．（2分）
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，∴BM∥平面D₁AC．（4分）

（Ⅱ）連接OB₁，∵正方形ABCD的邊長為2，，
∴，OB₁=2，D₁O=2，
則OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（6分）
又∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，且BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，（10分）
∴D₁O⊥平面AB₁C，即D₁O為三棱錐D₁-AB₁C的高．（12分）
∵，D₁O=2
∴．14（5分）
點評：本題主要考查平面圖形中的線線關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生平面與空間的轉(zhuǎn)化能力，熟練應(yīng)用線面平行和線面垂直的判定定理．