Question

（1）①證明兩角和的余弦定理C_（α+β）=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，②由C_（α+β）推導(dǎo)兩角差的正弦公式S_（α-β）=sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．
（2）已知α，β都是銳角，cosα=

4

5

，sin（α+β）=

5

13

，求sinβ．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,證明題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）①建立單位圓，在單位圓中作出角，找出相應(yīng)的單位圓上的點的坐標(biāo)，由兩點間距離公式建立方程化簡整理即得；②由誘導(dǎo)公式sin（α-β）=cos[

π

2

-（α-β）]變形整理可得．
（2）由于sinβ=sin[（α+β）-α]，運用公式，只要求出sinα，cos（α+β），注意角的范圍，即可得到所求值．

解答： 解：（1）①如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，
并作出角α、β與-β，使角α的始邊為Ox，
交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于P₂；角β的始邊為OP₂，
終邊交⊙O于P₃；角-β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于P₄．
則P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）P₃（cos（α+β），sin（α+β）），
P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及兩點間的距離公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得cos（

π

2

-α）=sinα，sin（

π

2

-α）=cosα，
sin（α-β）=cos[

π

2

-（α-β）]=cos[（

π

2

-α）+β]=cos（

π

2

-α）cosβ-sin（

π

2

-α）sinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ；
（2）∵α是銳角，cosα=

4

5

，∴sinα=

3

5

，
∵α，β是銳角，∴π＞α+β＞α＞0，sin（α+β）=

5

13

＜sinα，∴α+β∈（

π

2

，π），
∴cos（α+β）=-

12

13

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

5

13

×

4

5

-（-

12

13

）×

3

5

=

56

65

．

點評：本題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識及運算能力．屬于中檔題．