Question

已知點O在△ABC內，且2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，那么△OBC、△OCA、△OAB的面積之比為（　�。�

• A、1：2：3
• B、2：3：6
• C、3：2：1
• D、6：3：2

Answer 1

考點：三角形的面積公式

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，分別延長OA，OB，OC至A′，B′，C′點，使得

OA′

=2

OA

，

OB′

=3

OB

，

OC′

=6

OC

，由于2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，可得

OA′

+

OB′

+

OC′

=

0

，延長點O是△A′B′C′的重心．可得△OB′C′、△OC′A′、△OA′B′的面積相等．于是

S△OAB

S△OA′B′

=

1 2 OA•OB

1 2 OA′•OB′

=

1

6

，S△OAB=

1

18

S△A′B′C′，同理可得S_△OAC=

1

36

S△A′B′C′，S△OBC=

1

54

S△A′B′C′．即可得出．

解答： 解：如圖所示，分別延長OA，OB，OC至A′，B′，C′點，使得

OA′

=2

OA

，

OB′

=3

OB

，

OC′

=6

OC

，
∵2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，∴

OA′

+

OB′

+

OC′

=

0

，
∴點O是△A′B′C′的重心．
∴△OB′C′、△OC′A′、△OA′B′的面積相等．
∵

S△OAB

S△OA′B′

=

1 2 OA•OB

1 2 OA′•OB′

=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
∴S△OAB=

1

18

S△A′B′C′，
同理可得S_△OAC=

1

36

S△A′B′C′，
S△OBC=

1

54

S△A′B′C′．
∴△OBC、△OCA、△OAB的面積之比為2：3：6．
故選：B．

點評：本題考查了三角形重心的性質定理、三角形面積計算公式、向量的共線定理，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結合的能力，屬于難題．