Question

在一個(gè)很大的湖邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其移動(dòng)方向與湖岸所成的角為30°，速度為v•km/h，同時(shí)岸邊有一個(gè)人從同一地點(diǎn)開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度是4km/h，在水中游的速度是2km/h，忽略跳水的耗時(shí)并假設(shè)他在水中游泳始終沿直線．
（1）若他在岸上跑了30分鐘，然后跳下湖又游了90分鐘正好追到小船，求v的值；
（2）如果小船能夠被追上，求v的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件設(shè)出變量t，利用余弦定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)人追上小船共用時(shí)t，其中在岸上部分用時(shí)kt（0＜k＜1），則在水中用時(shí)（1-k）t，由題意有12t²k²+k（8t²-4

3

vt²）+v²t²-4t²=0，此關(guān)于k的方程在（0，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)解
，從而解得2＜v≤

4

3

3

．

解答： 解：（1）由題意三角形的三邊長(zhǎng)分別為OA=2km，AB=3km，OB=2vkm，
由余弦定理知：3²=2²+（2v）²-2×2×（2v）×cos30°，
解得：v=

5

4

+

3

4

．
（2）由于人在水中游的速度小于船的速度，
人只有先沿岸跑一段路程后再游水追趕船，這樣才有可能追上，
所以，只有當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中行駛的軌跡它們?nèi)�者組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船．
假設(shè)船速為v（未知），
可知，當(dāng)v≥4時(shí)，人不可能追上船
當(dāng)0＜v≤2時(shí)，人不必在岸上跑，從同一地點(diǎn)直接下水就可追上小船
所以，2＜v＜4．
設(shè)人追上小船共用時(shí)t，其中在岸上部分用時(shí)kt（0＜k＜1），則在水中用時(shí)（1-k）t
小船走的距離：vt
人在岸上的距離：4kt
人在水中的距離：2（1-k）t
三者構(gòu)成三角形，且前兩者的夾角為30°
由余弦定理：（4kt）²+（vt）²-2（4vt）（vt）cos30°=4（1-k）²t²
cos30°=

3

2

，代入，整理得：
12t²k²+k（8t²-4

3

vt²）+v²t²-4t²=0
關(guān)于k的方程在（0，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)解
所以，△=(8t2-4

3

vt2)2-4×12t2×(v2 t2-4t2)≥0
且兩根之積滿足：0＜

v2t2-4t2

12t2

＜1
解得，2＜v≤

4

3

3

即當(dāng)船速在（2，

4

3

3

]范圍內(nèi)時(shí)，人可以追上小船．
故小船能被追上的最大速度為

4

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解答本題的關(guān)鍵．本題運(yùn)算比較復(fù)雜，屬于中檔題．