Question

如圖所示,直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂點(diǎn)N∈l₁，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3且|BN|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.

Answer 1

思路解析：由曲線的定義確定曲線C的形狀，待定系數(shù)法求軌跡方程.

解法一：（待定系數(shù)法）建立如圖8-6-7坐標(biāo)系，以l₁為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

依題意知曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn),以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段,其中A、B分別為C的端點(diǎn).

設(shè)曲線段C的方程y²=2px（p＞0）(x_A≤x≤x_B,y＞0),其中x_A、x_B分別為A、B的橫坐標(biāo),p=|MN|.

所以M(-,0),N(,0).

由|AM|=,|AN|=3得

(x_a+)²+2px_A=17,                                                            ①

(x_a-)²+2px_A=9.                                                              ②

由①②兩式聯(lián)立解得x_a=.再次其代入①式并由p＞0解得

或

因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形,所以＞ｘ_a.

故舍去因此

由點(diǎn)B在曲線段C上,得x_B=|BN|=-=4.

綜上,得曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).

解法二：(直接法)如圖,建立坐標(biāo)系,分別以l₁、l₂為x軸、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn).

作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F.

設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B,y_B）,N(x_N,0).

依題意，有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，

y_A=|DM|==2.

由于△AMN為銳角三角形，故有x_N=|ME|+|EN|

=|ME|+=4.

x_B=|BF|=|BN|=6.

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是曲線段C上任一點(diǎn),則由題意知|PN|²=x².

∴(x-x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B,y＞0.

故曲線段C的方程為y²=8(x-2)(3≤x≤6,y＞0).

解法三：以l₁為x軸,線段MN的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如下圖所示,由拋物線定義知C所在曲線方程為y²=2px.

過(guò)A、B分別作垂直于l₁、l₂的線段，則點(diǎn)F在MN上，

p=|MN|

=|MF|+|FN|

=|AE|+

=|AN|+）

=3+

=3+=4.

又|OF|=|MF|-|MO|=3-2=1，|OK|=|MK|-|MO|=6-2=4，

∴曲線段C的方程是y²=8x(1≤x≤4,y＞0).