Question

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)ξ為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有3件產(chǎn)品的重量超過505克的概率．

Answer 1

分析：（1）先求重量超過505克的產(chǎn)品的頻數(shù)，注意用縱坐標(biāo)乘以組距為該組數(shù)據(jù)的頻率，再求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，即用頻率乘以樣本容量
（2）先確定ξ的所有可能取值，再計算取每個值時的概率，注意運用計數(shù)原理及組合知識，最后列出分布列，利用期望公式求隨機變量的期望
（3）由樣本估計從流水線上任取一件產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3，所以“從該流水線上任取5件產(chǎn)品，恰有3件產(chǎn)品的重量超過505克”為獨立重復(fù)試驗，由獨立重復(fù)試驗發(fā)生的概率公式計算即可

解答：解：（1）由圖可知重量超過505克的產(chǎn)品的頻率為（0.05+0.01）×5=0.3
∴重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為0.3×40=12件
（2）ξ的所有可能取值為0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 28

C 2 40

=

63

130

P（ξ=1）=

C 1 12 C 1 28

C 2 40

=

28

65

P（ξ=2）=

C 2 12

C 2 40

=

11

130

∴ξ的分布列為
ξ的期望為
E（ξ）=1×

28

65

+2×

11

130

=

39

65

（3）由樣本估計從流水線上任取一件產(chǎn)品重量超過505克的概率為

12

40

=

3

10

∴從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有3件產(chǎn)品的重量超過505克的概率為

C

3 5

 (

3

10

)3  (

7

10

)2=

1323

10000

點評：本題綜合考查了頻率分布直方圖的識別，離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，獨立重復(fù)試驗發(fā)生的概率求法