Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，函數(shù)g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是（ ）
A.（ ，+∞）
B.（﹣∞， ）
C.（0， ）
D.（ ，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x）， ∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
設h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，則﹣x≥0，2﹣x≥2，
則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2 ，
若0≤x≤2，則﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）= ，
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：
當x≤0時，h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+ ≥ ，
當x＞2時，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣ ）2+ ≥ ，
故當b= 時，h（x）=b，有兩個交點，
當b=2時，h（x）=b，有無數(shù)個交點，
由圖象知要使函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰有4個零點，
即h（x）=b恰有4個根，
則滿足 ＜b＜2，
故選：D．

求出函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的表達式，構造函數(shù)h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可．