Question

3．已知曲線C是C₁上半圓：x²+y²=m²（y≥0，m＞0）與部分圓C₂：x²+（y+1）²=n²（y≤0，n＜0）連接而成的，C₁，C₂交于x軸上的公共點為A，B（A在B的左側(cè)），曲線C與y軸交于D、E兩點，若|DE|=2+$\sqrt{2}$．
（1）求m、n的值：
（2）過B作直線MN與C₁，C₂交于和A，B不同的兩點M，N，問是否存在M、N，使AM⊥AN？若存在，求出直線MN方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求m、n的值：
（2）求出M，N的坐標(biāo)，利用AM⊥AN，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{-n+1+m=2+\sqrt{2}}\\{{m}^{2}+1={n}^{2}}\end{array}\right.$，∴m=1，n=-$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），與曲線C₁上半圓聯(lián)立，可得（1+k²）x²-2k²x+k²-1=0，∴M（$\frac{{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$），
與部分圓C₂，聯(lián)立可得（1+k²）x²+（2k-2k²）x+k²-2k-1=0，∴N（$\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{2{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$），
∵AM⊥AN，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2{k}^{2}（2{k}^{2}-2k）-2k（-2{k}^{2}-2k）}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=0
∴k=-1，
∴直線MN的方程為y=-x+1．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．