Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，g（x）+f（x）=x²
（1）求函數(shù)g（x）在R上的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x∈（-∞，0]時(shí)，g（x）=2x，g（x）是R上的奇函數(shù)，可求得函數(shù)g（x）在R上的解析式；
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x，根據(jù)絕對(duì)值不等式（|x|≥a型）可得：x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0，從而可求得不等式g（x）≥f（x）-|x-1|的解集；
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1，對(duì)λ分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求得λ的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)x∈[0，+∞），則-x∈（-∞，0]
∵當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，g（x）+f（x）=x²∴當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，g（x）=2x
∴g（-x）=-2x∵g（x）是R上的奇函數(shù)∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴函數(shù)g（x）在R上的解析式，g（x）=2x
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x∴x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0
∴

5- 21

2

≤x≤

5+ 21

2

，

3- 13

2

≤x≤

3+ 13

2

因此，原不等式的解集為[

3- 13

2

，

5+ 21

2

]
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1
①λ=0時(shí)，h（x）=2x+1在[-1，1]上是增函數(shù)∴λ=0
②當(dāng)λ≠0，對(duì)稱軸方程為x=

λ+1

λ

當(dāng)λ＜0時(shí)，

λ+1

λ

≤-1，解得-

1

2

≤λ＜0
當(dāng)λ＞0時(shí)，

λ+1

λ

≥1，解得λ＞0
綜上所述，-

1

2

≤λ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，著重考查學(xué)生分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)的能力，屬于難題．