Question

判斷函數(shù)f（x）=x+

1

x

的奇偶性，并證明f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：用函數(shù)奇偶性定義證明，要注意定義域．根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，先任取兩個(gè)變量，且確定范圍，再作差變形看符號(hào)．

解答：解：函數(shù)f（x）=x+

1

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f（x），滿足奇函數(shù)的定義，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義，要注意奇偶性要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用單調(diào)性的定義作差變形時(shí)化簡要到位．