Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+1}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）-kx²=0有四個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明，先去絕對(duì)值號(hào)對(duì)函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)，根據(jù)其形式判斷出函數(shù)的性質(zhì)，再進(jìn)行證明
（2）方程f（x）-kx²=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，代入函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)行探究，由于方程帶有絕對(duì)值，故需要分類去絕對(duì)值，在每一類中找出滿足方程有兩解的參數(shù)的值，合并既得．

解答 解：（1）函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（-1，0]，證明如下：
∵f（x）=$\frac{|x|}{x+1}$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是減函數(shù)
∴f （x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=-1+$\frac{1}{x+1}$，
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（-1，0]上是減函數(shù)，
∴f （x）在區(qū)間（-1，0]上是減函數(shù)
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
∴f （x）在區(qū)間（-∞，-1）上是減函數(shù)．（4分）
（2）原方程即：$\frac{|x|}{x+1}$=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個(gè)解．（5分）
②當(dāng)x＜0且x≠-1時(shí)方程①有解，則$\frac{-x}{x+1}$=kx²即kx²+kx+1=0，
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+kx+1=0無(wú)解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=k²-4k≥0，即k＜0或k≥4時(shí)，方程kx²+kx+1=0有解．
設(shè)方程kx²+kx+1=0的兩個(gè)根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-1，x₁x₂=$\frac{1}{k}$．
當(dāng)k＞4時(shí)，方程kx²+kx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；
當(dāng)k=4時(shí)，方程kx²+kx+1=0有兩個(gè)相等的負(fù)根；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程kx²+kx+1=0有一個(gè)負(fù)根（8分）
③當(dāng)x＞0時(shí)，方程①有解，則$\frac{x}{x+1}$=kx²，kx²+kx-1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+kx-1=0無(wú)解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=k²+4k≥0即k＞0或k≤-4時(shí)，方程kx²+kx-1=0有解．
設(shè)方程kx²+kx-1=0的兩個(gè)根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-1，x₃x₄=-$\frac{1}{k}$，
∴當(dāng)k＞0時(shí)，方程kx²+2kx-1=0有一個(gè)正根，
當(dāng)k≤-4時(shí)，方程kx²+2kx+1=0沒(méi)有正根．（11分）．
綜上可得，當(dāng)k∈（4，+∞）時(shí)，方程f （x）=kx²有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．（13分）．

點(diǎn)評(píng) 本題第一問(wèn)考查單調(diào)性的判斷，題目較易，第二問(wèn)由方程有四個(gè)解來(lái)求參數(shù)的范圍，本題對(duì)思維的嚴(yán)密性要求很高，需要熟練運(yùn)用分類討論的思想，因?yàn)轭}目中有太多的不確定性，本題難度較大．