Question

（2012•浙江模擬）A，B，P是直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O在直線l外，若

OP

=m

AP

+(2m-3)

OB

，(m∈R)，則

| PB |

| PA |

=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知等式，結(jié)合向量減法法則化簡得

OP

=

m

m-1

OA

+

3-2m

m-1

OB

，而A、B、P三點(diǎn)共線，可得

m

m-1

+

3-2m

m-1

=1，解之得m=2，再回代到條件中，可得

AP

=-

1

2

PB

，得到的

| PB |

| PA |

值．

解答：解：∵

AP

=

OP

-

OA

，

OP

=m

AP

+(2m-3)

OB

∴

OP

=m(

OP

-

OA

)+(2m-3)

OB

，化簡得（m-1）

OP

=m

OA

+（3-2m）

OB

即

OP

=

m

m-1

OA

+

3-2m

m-1

OB

∵A，B，P是直線l上不同的三點(diǎn)，
∴存在λ∈R，使

AP

=λ

PB

，化簡整理得

OP

=

1

1+λ

OA

+

λ

1+λ

OB

由此可得

m

m-1

=

1

1+λ

且

3-2m

m-1

=

λ

1+λ

，
所以

m

m-1

+

3-2m

m-1

=

1

1+λ

+

λ

1+λ

=1，解之得m=2，λ=-

1

2

∴

AP

=-

1

2

PB

，可得

| PB |

| PA |

=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出共線的三個(gè)點(diǎn)，在已知向量線性關(guān)系的情況下求兩個(gè)向量長度之比，著重考查了平面向量減法的意義和平面向量基本定理等知識(shí)，屬于中檔題．