已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，且原點O到直線
x
a
+
y
b
=1的距離為d=
2
21
7
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M（
3
，0）作直線與橢圓C交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．
分析：（1）由e=
c
a
=
1
2
，知a2=4c2=4（a2-b2），由直線方程為
x
a
+
y
b
=1，知d=
ab
a2+b2
=
2
21
7
，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線PQ：x=my+
3
，代入橢圓C：3x2+4y2=12，得(3m2+4)y2+6
3
my-3=0，△=(6
3
m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，△OPQ的面積為S=
1
2
|OM||y1-y2|=
3
2
×
△
3m2+4
=
6
3m2+1
3m2+4
，由此能求出△OPQ面積的最大值．
解答：解：（1）∵e=
c
a
=
1
2
，∴a2=4c2=4（a2-b2），即4b2=3a2，（1）（2分）
又∵直線方程為
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay=ab，
∴d=
ab
a2+b2
=
2
21
7
，即7a2b2=12（a2+b2）（2）（4分）
聯(lián)立（1）（2）解得a2=4，b2=3，∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．（6分）
（2）由題意，設直線PQ：x=my+
3
，
代入橢圓C：3x2+4y2=12，化簡，得(3m2+4)y2+6
3
my-3=0，
△=(6
3
m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，則△OPQ的面積為
S=
1
2
|OM||y1-y2|=
3
2
×
△
3m2+4
=
6
3m2+1
3m2+4
，（9分）
∴S=
6
3m2+1
(3m2+1)+3
≤
6
3m2+1
2
3(3m2+1)
=
3
，
所以，當3m2+1=3，m2=
2
3
時，△OPQ面積的最大值為
3
．（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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