Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

3

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，交橢圓于點(diǎn)A、B．
（�。┤魸M(mǎn)足

OA

•

OB

=

2

tan∠AOB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB的面積；
（ⅱ）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在一點(diǎn)P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c=1，結(jié)合離心率得出a=

3

，求出b 值，最后寫(xiě)出橢圓C的方程即可；
（II）（i）由題中條件：“

OA

•

OB

=

2

tan∠AOB

”結(jié)合向量的數(shù)量積，代入三角形面積公式求得答案．
（ii）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在一點(diǎn)P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角，再利用方程的思想，求出m的值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）c=1，又e=

c

a

=

3

3

，∴a=

3

∴b²=a²-c²=3-1=2
所以，橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1
（Ⅱ）（�。�∵

OA

•

OB

=

2

tan∠AOB

，∴|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=

2

tan∠AOB

，
∴|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=2，∴S△AOB=

1

2

•|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=

1

2

×2=1．
（ⅱ）假設(shè)存在一點(diǎn)P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角，
依題意可知直線l、PA、PB斜率存在且不為零．
不妨設(shè)P（m，0），直線l的方程為y=k（x-1），k≠0
由

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

6k2

3k2+2

，x1•x2=

3k2-6

3k2+2

∵直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角，
∴k_PA+k_PB=0對(duì)一切k恒成立，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0對(duì)一切k恒成立
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0對(duì)一切k恒成立
∴2×

3k2-6

3k2+2

+2m-(m+1)×

6k2

3k2+2

=0對(duì)一切k恒成立，
即2m-6=0，∴m=3，
∴存在P（3，0）使得直線PA、PB的傾斜角互為補(bǔ)角．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力；注意（Ⅲ）的處理存在性問(wèn)題的一般方法，首先假設(shè)存在，進(jìn)而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化、計(jì)算，最后得到結(jié)論．