Question

已知函數f（x）=

1

x

+3，數列{a_n}的各項均為正數，a₁=1，且a

2 n+1

=

1

f( a 2 n )

（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數列（

1

a 2 n

）為等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）數列{b_n}滿足b_n•

(1-n) a 2 n +n

a 2 n

=2ⁿ，若b_n≥m對任意的正整數n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由an+12=

1

f(an2)

，得an+12=

1

1 an2 +3

，由此能證明數列{

1

an2

}是等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an2

=1+3（n-1），由此能求出an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）由bn=

2n

3n2-3n+1

，得b_n+1-b_n=

2n(3n2-9n+1)

(3n2+3n+1)(3n2-3n+1)

，由此能求出b_n≥m對任意的正整數n恒成立，只需m≤

8

19

．

解答： （Ⅰ）證明：由an+12=

1

f(an2)

，得an+12=

1

1 an2 +3

，
∴

1

an+12

=

1

an2

+3，a_n＞0，
又

1

a12

=1，∴數列{

1

an2

}是以1為首項，3為公差的等差數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

1

an2

=1+3（n-1），
即an2=

1

3n-2

，
∵a_n＞0，∴an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）解：∵

(1-n)an2+n

an2

=1-n+n•

1

an2

=1-n+n•（3n-2）
=3n²-3n+1，
∴b_n=

2n

3n2-3n+1

=3n²-3n+1，
∴bn=

2n

3n2-3n+1

，
b_n+1-b_n=

2n+1

3(n+1)2-3(n+1)+1

-

2n

3n2-3n+1

=

2n(3n2-9n+1)

(3n2+3n+1)(3n2-3n+1)

，
∵n∈N^*，∴2ⁿ＞0，3n²+3n+1＞0，3n²-3n+1=3n（n-1）+1＞0，
令3n²-9n+1≤0，得

9- 69

6

≤n≤

9+ 69

6

，
而0＜

9- 69

6

＜1，2＜

9+ 69

6

＜3，
即當1≤n≤2時，b_n＞b_n+1，
當n≥3時，b_n＜b_n+1，
∴當n=3時，（b_n）_min=b3=

8

19

，
∴b_n≥m對任意的正整數n恒成立，只需m≤

8

19

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．