Question

14．如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BC與AE所成的角；
（2）求直線BE和平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BC與AE所成的角的大�。�
（2）求出平面ABC的法向量和$\overrightarrow{BE}$，利用向量法能求出直線BE和平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點，
∴以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，1），E（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，-1），
設(shè)異面直線BC與AE所成的角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{AE}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴異面直線BC與AE所成的角為60°．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，-1），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，1，0），
設(shè)直線BE和平面ABC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2+1+0}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
∴直線BE和平面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．