Question

4．正三棱錐V-ABC的底面邊長是a，側(cè)面與底面成60°的二面角．求
（1）棱錐的側(cè)棱長；
（2）側(cè)棱與底面所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）過頂點(diǎn)V做VO⊥平面ABC，過O做OD⊥AB，垂足為D，連接VD，則∠VDO為側(cè)面與底面成的二面角，從而∠VDO=60°，分別求出OD、VD的長，由此利用勾股定理能求出棱錐的側(cè)棱長．
（2）連結(jié)BO，∠VBO是側(cè)棱與底面所成的角，由此能求出側(cè)棱與底面所成的角的正切值．

解答 解：（1）過頂點(diǎn)V做VO⊥平面ABC
∵V-ABC是正三棱錐，∴O為△ABC中心，
過O做OD⊥AB，垂足為D，連接VD，
則∠VDO為側(cè)面與底面成的二面角，
∵側(cè)面與底面成60°的二面角，∴∠VDO=60°，
∵△ABC的邊長是a，∴OD=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴cos∠VDO=$\frac{OD}{VD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{VD}$=$\frac{1}{2}$，解得VD=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴VA=$\sqrt{A{D}^{2}+V{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}a}{6}$．
∴棱錐的側(cè)棱長為$\frac{\sqrt{21}}{6}a$．
（2）連結(jié)BO，
∵VO⊥底面ABC，∴∠VBO是側(cè)棱與底面所成的角，
∵OB=2OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，VO=$\sqrt{V{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{3}-\frac{{a}^{2}}{12}}$=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠VBO=$\frac{VO}{BO}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴側(cè)棱與底面所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查棱錐的側(cè)棱長和側(cè)棱與底面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．