Question

設(shè)f（x）=x+

4

x2

（x＞0）．
（1）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若m∈R，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[2^m，2^m+1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差可證明f（x₁）＜f（x₂），利用單調(diào)性的定義可作出判斷；
（2）分2^m+1≤2，2^m≥2，2^m＜2＜2^m+1三種情況進(jìn)行討論，借助函數(shù)f（x）的單調(diào)性可求得其最大值、最小值，從而可得函數(shù)的值域；

解答：解：（1）f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

4

x12

）-（x₂+

4

x22

）
=（x₁-x₂）+（

4

x12

-

4

x22

）
=（x₁-x₂）（1-

4(x1+x2)

x12x22

）
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x22

-

4

x12x2

），
∵x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x1x22＞8，x1x22＞8，∴

4

x1x22

＜

1

2

，

4

x12x2

＜

1

2

，
∴1-

4

x1x22

-

4

x12x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）f′（x）=1-

8

x3

，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上遞減，由（1）知f（x）在（2，+∞）上遞增，
則①當(dāng)2^m+1≤2，即m≤0時(shí)，值域?yàn)?span id="c9qslzd" class="MathJye">[f(2m+1)，f(2m)]=[2m+1+

1

22m

，2m+

4

22m

]；
②當(dāng)2^m≥2，即m≥1時(shí)，值域?yàn)?span id="i9hljcb" class="MathJye">[f(2m)，f(2m+1)]=[2m+

4

22m

，2m+1+

1

22m

]；
③當(dāng)2^m＜2＜2^m+1，即0＜m＜1時(shí)，函數(shù)最小值為f（2）=3，
最大值為f（2^m）與f（2^m+1）中的較大者，且f(2m+1)-f(2m)=2m+1+

1

22m

-2m-

4

22m

=2m-

3

22m

，
當(dāng)0＜m≤log₈3時(shí)，值域?yàn)?span id="99udbec" class="MathJye">[f(2)，f(2m)]=[3，2m+

4

22m

]；
當(dāng)log₈3＜m＜1時(shí)，值域?yàn)?span id="oz8ge8t" class="MathJye">[f(2)，f(2m+1)]=[3，2m+1+

1

22m

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查函數(shù)值域的求解，考查分類討論思想．