Question

直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則直線與拋物線交點的橫坐標為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  2

  2

• C、

  3	1 2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示，令x-x²=0，解得x=0，1．聯(lián)立

y=kx y=x-x2

，解得O（0，0），B（1-k，k-k²）．由于直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，
利用微積分基本定理即可得出：

∫

1 0

(x-x2)dx=2

∫

1-k 0

(x-x2-kx)dx，解出即可．

解答： 解：如圖所示，
令x-x²=0，解得x=0，1．
聯(lián)立

y=kx y=x-x2

，
解得O（0，0），B（1-k，k-k²）．
∵直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，
∴

∫

1 0

(x-x2)dx=2

∫

1-k 0

(x-x2-kx)dx，
∴(

1

2

x2-

1

3

x3)

|

1 0

=2(

1

2

x2-

1

3

x3-

1

2

kx2)dx，
化為

1

6

=2[

(1-k)3

3

-

1

2

(1-k)3]，
∴1-k=

3	1 2

．
∴直線與拋物線交點的橫坐標為

3	1 2

．
故選：C．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．