正三棱錐的高為1，底面邊長為2
6
，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑．
考點(diǎn)：球的體積和表面積
專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析：過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，確定AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，因?yàn)檎忮F的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，利用△POF∽△PED，求出球的半徑，棱錐的表面積．
解答： 解：過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE（如圖）
∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，
又因?yàn)檎忮F的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形邊長為2
6
，
∴DE=
1
3
AE=
1
3
×
3
2
×2
6
=
2
，
又PE為側(cè)面之高，所以PE=
3
．
設(shè)球的半徑為r，由△POF∽△PED，知
r
DE
=
1-r
PE
，
所以
r
2
=
1-r
3
，所以r=
6
-2，
所以棱錐的表面積=3×
1
2
×2
6
×
3
+
3
4
×（2
6
）2=9
2
+6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的表面積和球的半徑，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（　�。�
A、
1
4
B、
2
2
C、
3
1
2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an=2an-1（n≥2，n∈N*）．
（1）試寫出a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥平面CDE；
（2）求異面直線AC，BE所成角的余弦值；
（3）求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(n)=
n2(n為奇數(shù))
-n2(n為偶數(shù))
，設(shè)an=f（n）+f（n+1），則數(shù)列{an}前100項(xiàng)之和為（　�。�
A、0B、100
C、-100D、200

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=3，
a
•
b
=-12，則向量
b
在向量
a
方向上的投影的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信度為99%時(shí)，則隨即變量k2的觀測值k必須（　�。�
A、大于10.828
B、大于7.879
C、大于6.635
D、大于2.706

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線的斜率為4，則函數(shù)g（x）=
3
sin2x+bcos2x的最大值是（　　）
A、1
B、2
C、
2
D、
3

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