Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線B₁E與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由側(cè)面AA₁B₁B為正方形，可得AB⊥BB₁．再利用線面面面垂直的判定定理即可證明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，以B為原點(diǎn)，BA，BB₁所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由側(cè)面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，以B為原點(diǎn)，BA，BB₁所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，CB=CB₁，
設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連接CO，則CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AA₁B₁B，
且$CO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\sqrt{3}$．
則$B（{0，0，0}），C（{0，1，\sqrt{3}}），E（{0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），{B_1}（{0，2，0}），A（{2，0，0}），{C_1}（{0，3，\sqrt{3}}）$．
得$\overrightarrow{{B_1}E}=（{0，-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{-2，3，\sqrt{3}}）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow{{B_1}E}，\overrightarrow{A{C_1}}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{{B_1}E}•\overrightarrow{A{C_1}}}}{{|{\overrightarrow{{B_1}E}}|•|{\overrightarrow{A{C_1}}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
∴異面直線B₁E與AC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成角、線面面面垂直的判定定理、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．