Question

12．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m≤2
• B． m＜2
• C． m≤3
• D． m＜3

Answer 1

分析 由配方法化簡(jiǎn)x²+x+1，將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為3x²+2x+2≥m（x²+x+1），化簡(jiǎn)后由恒成立問(wèn)題和二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}＞0$恒成立，
∴不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m等價(jià)于3x²+2x+2≥m（x²+x+1），
即（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
①當(dāng)3-m=0，即m=3時(shí)，不等式為-x-1≥0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒不成立；
②當(dāng)3-m≠0，即m≠3時(shí)，
有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{（2-m）^{2}-4×（3-m）×（2-m）≤0}\end{array}\right.$，解得m≤2，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化與解法，一元二次不等式的解法，以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．