Question

11．已知f（x）=e^x-1-ax．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性
（2）若對于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥1-a，求a的值；
（3）設(shè)g（x）=e^x-1+$\frac{1}{2}$x²-2x+m，對任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為m＞2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²在R恒成立，令h（x）=2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-1-ax，f′（x）=e^x-1-a，
①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞1+lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜1+lna，
故f（x）在（-∞，1+lna）遞減，在（1+lna，+∞）遞增；
（2）由（1）a＞0時，f（x）_min=f（1+lna）=-alna，
故-alna=1-a，解得：a=1；
（3）若對任意實(shí)數(shù)x，都有g(shù)（x）＞0，
則m＞2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²在R恒成立，
令h（x）=2x-e^x-1-$\frac{1}{2}$x²，
則h′（x）=2-e^x-1-x，h″（x）=-e^x-1-1＜0，
故h′（x）在R遞減，而h′（1）=0，
故x∈（-∞，0）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
故h（x）_max=h（0）=-$\frac{1}{e}$，
故m＞-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．