已知某幾何體的直觀圖與它的三視圖,其中俯視圖為正三角形,其它兩個(gè)視圖是矩形.已知D是這個(gè)幾何體的棱A1C1上的中點(diǎn).

(Ⅰ)求出該幾何體的體積;
(Ⅱ)求證:直線BC1∥平面AB1D;
(Ⅲ)求證:直線B1D⊥平面AA1D.
分析:(Ⅰ)由三視圖可知:該幾何體是一個(gè)正三棱柱,底面是高為
3
的正三角形,三棱柱的高為h=3.先求出底面正三角形的面積,代入正三棱柱的體積計(jì)算公式即可得出;
(Ⅱ)由三角形的中位線定理可得OD∥BC1.結(jié)合線面平行的判定定理即可證明直線BC1∥平面AB1D;
(III)由等邊三角形三線合一可得B1D⊥A1C1,根據(jù)正三棱柱的幾何特征可得平面A1B1C1⊥平面ACC1A1,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,可得直線B1D⊥平面AA1D
解答:解:(Ⅰ)由三視圖可知:該幾何體是一個(gè)正三棱柱,底面是高為
3
的正三角形,三棱柱的高為h=3.
由底面是高為
3
的正三角形,可得底面正三角形的邊長為2,
因此S底面△ABC=
3
4
×22=
3

∴此正三棱柱的體積V=Sh=3
3

(Ⅱ)連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD,
由矩形ABB1A1,可得A1O=OB.
又∵D是這個(gè)幾何體的棱A1 C1的中點(diǎn),
∴OD是三角形A1BC1的中位線,
∴OD∥BC1
∵BC1?平面AB1D,OD?平面AB1D,
∴BC1∥平面AB1D.
(Ⅲ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,三角形A1B1C1為正三角形,D是棱A1C1上的中點(diǎn)
∴B1D⊥A1C1,
又由正三棱柱性質(zhì)知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1,且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1,B1D?平面A1B1C1,
∴B1D⊥平面AA1D,
點(diǎn)評:由三視圖可知正確得出該幾何體是一個(gè)正三棱柱,熟練掌握正三角形的面積、正三棱柱的體積計(jì)算公式、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵.
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(1)求證:BC∥平面C1B1N;
(2)求證:BN⊥平面C1B1N;
(3)設(shè)M為AB中點(diǎn),在BC邊上找一點(diǎn)P,使MP∥平面CNB1,并求
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