Question

若點P（m，n）與點P′（m′，n′）滿足m′=n，n′=m，則稱P′為P的“反變換對稱點”，如點（1，2）的“反變換對稱點”為點（2，1），已知三點M（3

2

，4），F(xiàn)₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）
（1）求以F₁、F₂為焦點，且過點M的雙曲線C₁的標準方程；
（2）設M′、F₁′和F₂′分別為M、F₁和F₂的“反變換對稱點”，求以F₁′、F₂′為焦點，且過點M′的橢圓C₂的標準方程．

Answer 1

考點：雙曲線的應用,橢圓的應用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，c=5，2a=||MF₁|-|MF₂||=6，可得a=3，b=4，即可求出雙曲線C₁的標準方程；
（2）M′（4，3

2

），F(xiàn)₁′（0，-5），F(xiàn)₂′（0，5）可得c′=5，2a′=||M′F₁′|+|M′F₂′||=10

2

，即可求出橢圓C₂的標準方程．

解答： 解：（1）由題意，c=5，2a=||MF₁|-|MF₂||=6，
∴a=3，b=4，
∴雙曲線C₁的標準方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）M′（4，3

2

），F(xiàn)₁′（0，-5），F(xiàn)₂′（0，5）
∴c′=5，2a′=||M′F₁′|+|M′F₂′||=10

2

，
∴a′=5

2

，
∴b′=5，
∴橢圓C₂的標準方程為

y2

50

+

x2

25

=1．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查橢圓、雙曲線的定義，屬于中檔題．