Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：交于B，D兩點(diǎn)，BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右焦點(diǎn)為F，|DF|•|BF|≤17，求b²-a²取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）寫出直線l的方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩個交點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)的和，結(jié)合BD的中點(diǎn)為M（1，3）列式求得C的離心率；
（Ⅱ）化簡雙曲線的方程，進(jìn)一步把B，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積用僅含a的代數(shù)式表示，用兩點(diǎn)間的距離公式寫出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根與系數(shù)的關(guān)系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范圍，則b²-a²取值范圍可求．
解答：解：（I）由題知，l的方程為：y=x+2．
代入C的方程，并化簡，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）則   ①
由M（1，3）為BD的中點(diǎn)知，故，
即b²=3a²  ②
故，所以C的離心率；
（II）由①、②知C的方程為：3x²-y²=3a²．
F（2a，0），．
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a
，
|FD|=，
|BF|•|DF|=（a-2x₁）（2x₂-a）=
=．
又|BF|•|DF|≤17，故5a²+4a+8≤17，
解得，故0＜a≤1．
由e=2，得b²=3a²，故b²-a²=2a²∈（0，2]．
點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題是高考的重點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，往往采用“設(shè)而不求”的解題方法，解答的關(guān)鍵是正確利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系，有時運(yùn)算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算能力，是難題．