Question

（2012•宿州一模）已知斜率為1的直線l與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線g：x-y+9=0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知：l的方程為y=x+2，代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，得：（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1•x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

，由M（1，3）為BD的中點(diǎn)，知

4a2

b2-a2

=2，由此能求出雙曲線C的離心率．
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），點(diǎn)F₁關(guān)于直線g：x-y+9=0的對稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-9，6），直線FF₂的方程為x+2y-3=0，故交點(diǎn)M（-5，4）．由此能求出橢圓的方程．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題設(shè)知：l的方程為y=x+2，代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，并化簡得：
（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，（*）…（2分）
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1•x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

，…（4分）
由M（1，3）為BD的中點(diǎn)，知

x1+x2

2

=1，故

4a2

b2-a2

=2，
即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．…（6分）
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），點(diǎn)F₁關(guān)于直線g：x-y+9=0①
的對稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-9，6），直線FF₂的方程為x+2y-3=0，②…（8分）
解方程組①②得：交點(diǎn)M（-5，4），…（9分）
此時|MF₁|+|MF₂|最小，所求橢圓的長軸2a=|MF1| +|MF2| =|FF2| =6

5

，
∴a=3

5

，…（11分）
∵c=3，∴b²=36，故所求橢圓的方程為

x2

45

+

y2

36

=1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，具有一定的探索性．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．