Question

16．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上一點P使$\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=e$，則$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}{F_1}}$的值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，e，運用三角形的正弦定理和雙曲線的定義，求得|PF₁|=4，|PF₂|=2．再由余弦定理求得cos∠PF₂F₁，運用向量數(shù)量積的定義計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{1+3}$=2，
可得$\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=e$=$\frac{c}{a}$=2，
F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），P為右支上一點，
由正弦定理可得|PF₁|=2|PF₂|，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2．
在△PF₂F₁中，由余弦定理得cos∠PF₂F₁=$\frac{{2}^{2}+{4}^{2}-{4}^{2}}{2×2×4}$=$\frac{1}{4}$，
則$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}{F_1}}$=|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|•|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|•cos∠PF₂F₁=2×4×$\frac{1}{4}$=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是焦點和離心率，注意運用雙曲線的定義和三角形的正弦和余弦定理，以及向量數(shù)量積的定義的應用，考查運算能力，屬于中檔題．