Question

4．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₃+S₄=S₅．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，求數列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，根據題意、等差數列的性質以及通項公式列出方程，求出公差d，由等差數列的通項公式求出a_n；
（Ⅱ）由（I）化簡b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，利用并項求和法和等差數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前2n項和T_2n．

解答 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
由S₃+S₄=S₅可得a₁+a₂+a₃=a₅，-------（2分）
即3a₂=a₅，則3（1+d）=1+4d，解得d=2-----（4分）
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
${b_n}={（-1）^{n-1}}•（2n-1）（2n+1）={（-1）^{n-1}}•（4{n^2}-1）$------（7分）
所以${T_{2n}}=（4×{1^2}-1）-（4×{2^2}-1）+（4×{3^2}-1）-（4×{4^2}-1）+…+{（-1）^{2n-1}}•[{4×{{（2n）}^2}-1}]$
=4[1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²]------------（9分）
=-4（1+2+3+4+…+2n-1+2n）
=$-4×\frac{2n（2n+1）}{2}=-8{n}^{2}-4n$------（12分）

點評 本題考查等差數列的性質、通項公式以及前n項和公式，以及并項求和法求數列的和，考查化簡、變形能力．