【題目】已知圓： 過橢圓： 的短軸端點， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作圓的一條切線交橢圓于兩點，求的面積的最大值.

【答案】（1）（2）1

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圓過橢圓的短軸端點，線段長度的最大值為3， ， ，即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）設直線的方程，由點到直線的距離公式，求得，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得，利用三角形的面積公式及基本不等式的性質，即可求得的面積的最大值．

試題解析：(1)∵圓過橢圓的短軸端點，∴，又∵線段長度的最大值為3，∴，即，∴橢圓的標準方程為.

（2）由題意可設切線的方程為，即，則，得.①

聯(lián)立得方程組，消去整理得.其中，

設，則， ，

則②

將①代入②得，∴，而，等號成立，當且僅當，即.

綜上可知， .

點晴：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)關系、設而不求法計算弦長.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設集合，若X是的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為的奇（偶）子集．

（1）寫出S4的所有奇子集；

（2）求證：的奇子集與偶子集個數(shù)相等；

（3）求證：當n≥3時，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出盒該產(chǎn)品獲利潤元；未售出的產(chǎn)品，每盒虧損元.根據(jù)歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，該同學為這個開學季購進了盒該產(chǎn)品，以（單位：盒， ）表示這個開學季內的市場需求量，（單位：元）表示這個開學季內經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.

（1）根據(jù)直方圖估計這個開學季內市場需求量的中位數(shù)；

（2）將表示為的函數(shù)；

（3）根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調查，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：單位是萬元).

圖1圖2

（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，寫出它們的函數(shù)關系式；

（2）現(xiàn)企業(yè)有20萬元資金全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這20萬元資金，能使獲得的利潤最大，其最大利潤是多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點相同，又橢圓C上有一點M(2，1)，直線l平行于OM且與橢圓C交于A，B兩點，連接MA，MB.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當MA，MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：＋＝1上的任一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.

(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；

(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝2an＋ (a，λ∈R)．

(1)若λ＝－2，數(shù)列{an}單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝2，試寫出an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在極坐標系中點C的極坐標為.

(1)求出以點C為圓心，半徑為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)并畫出圖形；

(2)在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，點P是圓C上任意一點，Q(5，－)，M是線段PQ的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，∈[1，＋∞).

（1）當時，判斷函數(shù)的單調性并證明；

（2）當時，求函數(shù)的最小值；

（3）若對任意∈[1，＋∞)，＞0恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

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