【題目】已知圓: 過橢圓: 的短軸端點(diǎn), 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn),且線段長度的最大值為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于兩點(diǎn),求的面積的最大值.
【答案】(1)(2)1
【解析】試題分析:(Ⅰ)由圓過橢圓的短軸端點(diǎn),線段長度的最大值為3, , ,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線的方程,由點(diǎn)到直線的距離公式,求得,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及弦長公式求得,利用三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得的面積的最大值.
試題解析:(1)∵圓過橢圓的短軸端點(diǎn),∴,又∵線段長度的最大值為3,∴,即,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意可設(shè)切線的方程為,即,則,得.①
聯(lián)立得方程組,消去整理得.其中,
設(shè),則, ,
則②
將①代入②得,∴,而,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng),即.
綜上可知, .
點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合,若X是的子集,把X中所有元素的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0),若X的容量為奇(偶)數(shù),則稱X為的奇(偶)子集.
(1)寫出S4的所有奇子集;
(2)求證:的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等;
(3)求證:當(dāng)n≥3時(shí),的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個(gè)開學(xué)季內(nèi),每售出盒該產(chǎn)品獲利潤元;未售出的產(chǎn)品,每盒虧損元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購進(jìn)了盒該產(chǎn)品,以(單位:盒, )表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的中位數(shù);
(2)將表示為的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:單位是萬元).
圖1圖2
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),寫出它們的函數(shù)關(guān)系式;
(2)現(xiàn)企業(yè)有20萬元資金全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這20萬元資金,能使獲得的利潤最大,其最大利潤是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C的中心在原點(diǎn),其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)相同,又橢圓C上有一點(diǎn)M(2,1),直線l平行于OM且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),連接MA,MB.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)MA,MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時(shí),求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知M(x0,y0)是橢圓C:+=1上的任一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓M:(x-x0)2+(y-y0)2=2作兩條切線,分別交橢圓于點(diǎn)P,Q.
(1)若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1,k2,求證:k1k2為定值;
(2)試問|OP|2+|OQ|2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=2an+ (a,λ∈R).
(1)若λ=-2,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=2,試寫出an≥2對任意的n∈N*成立的充要條件,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.
(1)求出以點(diǎn)C為圓心,半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形;
(2)在直角坐標(biāo)系中,以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn),Q(5,-),M是線段PQ的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動時(shí),求點(diǎn)M的軌跡的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,∈[1,+∞).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)若對任意∈[1,+∞),>0恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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