Question

 如圖，圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為4，母線(xiàn)AB=18，從AB中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)。

（1）求繩子的最短長(zhǎng)度；

（2）求繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離。

 

Answer 1

【答案】

（1）21；（2）

【解析】

試題分析：  （1）要求繩子AM繞圓臺(tái)一周的最短長(zhǎng)度，則可沿AB將圓臺(tái)的曲面展開(kāi)，得扇環(huán)面（即將曲面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題），然后求出扇環(huán)面上AM’間的距離，AM’=，即繩子的最短長(zhǎng)度為21。

（2）要研究此時(shí)上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離，則需將扇環(huán)補(bǔ)充成扇形，這樣將BB’上的點(diǎn)到AM’的最短距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)S到AM’的最短距離（因?yàn)辄c(diǎn)S到BB’上的點(diǎn)的距離等于半徑SB）。故只需求出S到AM’的距離SQ，再減去半徑SP即可。即上底圓周上的點(diǎn)到繩子最短距離PQ=SQ－SP=SQ－SB=。

考點(diǎn)：本題主要考查圓臺(tái)的幾何特征及其展開(kāi)圖、距離的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：此題用到將圓臺(tái)“補(bǔ)成”圓錐再展開(kāi)進(jìn)行研究，這種割、補(bǔ)、拼湊的思想，是重要的數(shù)學(xué)思維方法。