Question

如圖，圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18；從AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，則繩子的最短長(zhǎng)度為________當(dāng)繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為________．

Answer 1

21    
分析：由題意需要畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點(diǎn)連線，根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長(zhǎng)，在求出最短的距離；取MB′的中點(diǎn)E，連接OE，交圓臺(tái)上底展開圖于F，則EF為所求．
解答：解：畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得所求的最短距離是MB'，
設(shè)OA=R，圓心角是α，則
∵圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB=18
∴2π=αR ①，8π=α（18+R） ②，
由①②解得，α=，R=6，
∴OM=15，OB'=24，
∴由余弦定理可得MB′²=15²+24²-2×15×24×cos=441
∴MB′=21．
取MB′的中點(diǎn)E，連接OE，交圓臺(tái)上底展開圖于F，則EF為所求
∴cos∠OMB′==
∴OE=
∴EF=
故答案為：21，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查在幾何體表面的最短距離，一般方法是把幾何體的側(cè)面展開后，根據(jù)題意作出最短距離即兩點(diǎn)連線，結(jié)合條件求出，考查了轉(zhuǎn)化思想．