Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
②函數(shù)y=2^-x的反函數(shù)是y=-log₂x；
③若函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中所有正確命題的序號是________．

Answer 1

①②③
分析：①由y=x|x|，y=bx均為奇函數(shù)，知函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互換，得函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域為R，則R⁺為y=x²+ax-a值域的子集，將問題轉化為二次函數(shù)問題后，可判斷③的真假；
④y=f（x-1）是偶函數(shù)，它的圖象關于y軸（x=0）對稱．y=f（x）是由y=f（x-1）向左平移1個單位得到，故可判斷④的真假．
解答：①∵y=x|x|，y=bx均為奇函數(shù)，故函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0，故①成立；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互換，得函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1），故②成立；
③若函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則y=x²+ax-a的圖象與x軸有交點，即a²+4a≥0，故a≤-4或a≥0，故③成立；
④y=f（x-1）是偶函數(shù)，它的圖象關于y軸（x=0）對稱．y=f（x）是由y=f（x-1）向左平移1個單位得到．故：y=f（x）關于x=-1對稱，故④不成立．
故答案為：①②③．
點評：本題考查的知識點是充要條件，反函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，掌握函數(shù)的三要素及三大性質是解答函數(shù)類問題的關鍵．