Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A（-

3

，

1

2

）為橢圓上一點(diǎn)，且AF₁⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知命題：“已知M是橢圓C上異于左右頂點(diǎn)A₁，A₂的一點(diǎn)，直線MA₁，MA₂分別交直線l：x=m（m為常數(shù)）于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在直線l上，若直線MN與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，則N為線段PQ的中點(diǎn)”，試寫出此命題的逆命題，判斷所寫命題的真假，若為真命題，請(qǐng)你給出證明；若為假命題，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）研究的結(jié)果，類似地，請(qǐng)你寫出雙曲線中的一個(gè)命題（不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)A（-

3

，

1

2

）為橢圓上一點(diǎn)，且AF₁⊥x軸，利用橢圓的定義，求出a，c，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）逆命題為真命題．設(shè)M（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出MA₁，MA₂的方程，可得P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得N的坐標(biāo)，求出MN的方程，代入橢圓方程，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ），可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（-

3

，

1

2

）為橢圓上一點(diǎn)，且AF₁⊥x軸，
∴|AF₁|=

1

2

，|F₁F₂|=2

3

，
∴|AF₂|=

7

2

，
∴2a=4，2c=2

3

，
∴a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）逆命題：“已知M是橢圓C上異于A₁，A₂的一點(diǎn)，直線MA₁，MA₂分別交直線l：x=m（m為常數(shù)）于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在直線l上．若N為線段PQ的中點(diǎn)，則直線MN與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M”，為真命題．
證明如下：設(shè)M（x₀，y₀）（x₀≠±2），則，
l_MA1：y=

y0

x0+2

（x+2）；l_MA2：y=

y0

x0-2

（x-2），
∴P（m，

y0(m+2)

x0+2

），Q（m，

y0(m-2)

x0-2

），
設(shè)PQ的中點(diǎn)為N（x₁，y₁），則x₁=m，y₁=

y0(x0m-4)

x02-4

=

4-mx0

4y0

，
∴N（m，

4-mx0

4y0

），
∴k_MN=-

x0

4y0

，
∴MN的方程為y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，即y=-

x0

4y0

x+

1

y0

代入橢圓方程，消去y可得x²-2x₀x+x₀²=0，
∴x=x₀，
∴直線MN與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M；
（Ⅲ）已知M是雙曲線C上異于A₁，A₂的一點(diǎn)，直線MA₁，MA₂分別交直線l：x=m（m為常數(shù)）于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在直線l上．若N為線段PQ的中點(diǎn)，則直線MN與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．