Question

雙曲線C與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1有相同的焦點，直線y=x是雙曲線C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知過點P（0，1）的直線?與雙曲線C交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=-3，求直線?的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)雙曲線C的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知條件得c²=a²+b²=2，

b

a

=1，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)直線?的方程為 y=kx+1，代入雙曲線C的方程x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=-3，利用韋達定理能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1有相同的焦點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
直線y=x是雙曲線C的一條漸近線，
∴設(shè)雙曲線C的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
且c²=a²+b²=2，

b

a

=1，解得a=b=1，
∴雙曲線C的方程是：x²-y²=1，
（2）設(shè)直線?的方程為 y=kx+1，
代入雙曲線C的方程x²-y²=1，
得（1-k²）x²-2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2= 2k 1-k2 x1x2= -2 1-k2

，①
由△=（-2k）²-4（1-k²）（-2）＞0，得k²＜2，且k²≠1，
由題意x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-3，
把①代入上式，并整理，得：

2-4k2

1-k2

=0，
解得k2=

1

2

，（k²＜2，且k²≠1），
∴k=±

2

2

，∴直線l的方程為：y=±

2

2

x+1．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積的合理運用．