Question

已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線L方程為y=x+1，L交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
由橢圓短軸長(zhǎng)為4得2b=4，解得b=2，
由離心率為，得，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由得9x²+10x-15=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
所以|MN|=|x₁-x₂|===；
分析：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），由短軸長(zhǎng)可得b值，由離心率為，可得，結(jié)合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）聯(lián)立方程組消掉y得到x的二次方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得弦長(zhǎng)|MN|．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理是解決該類(lèi)題目的基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握．