Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，平面，， ．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，證明，，推出平面，得到平面平面；

（2）取的中點，連接，則，說明兩兩垂直，以所在直線分別作為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，用向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.

（1）連接交于點，因為是菱形，

所以，

∵平面，∴，

又平面，平面，，

∴平面，

∴平面ACF⊥平面BDEF．

（2）取的中點，連接，則，

∵平面，∴平面，∴兩兩垂直．

以所在直線分別作為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），

則，，，，，

，，，

，,

則，，

所以，，且，

所以平面，

所以平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量為，

則，∴，

得，

令，

得平面的一個法向量，

從而.

即二面角的余弦值.