【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+ (x>0).
(1)若y=g(x)﹣m有零點(diǎn),求m的取值范圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)﹣f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

【答案】
(1)解:∵g(x)=x+ ≥2 =2e;

(當(dāng)且僅當(dāng)x= ,即x=e時(shí),等號(hào)成立)

∴若使函數(shù)y=g(x)﹣m有零點(diǎn),

則m≥2e;

故m的取值范圍為[2e,+∞)


(2)解:令F(x)=g(x)﹣f(x)

=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,

F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);

故當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,x∈(e,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0;

故F(x)在(0,e)上是減函數(shù),在(e,+∞)上是增函數(shù),

故只需使F(e)<0,

即e+e+e2﹣2e2﹣m+1<0;

故m>2e﹣e2+1


【解析】(1)由基本不等式可得g(x)=x+ ≥2 =2e,從而求m的取值范圍;(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,求導(dǎo)F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值,從而確定m的取值范圍.

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