Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，試用向量法求平面A₁BC與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離

分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A₁BC與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

解答： 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），

BA1

=（0，-1，1），

BC

=（-1，0，0），
設平面A₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA1 =-y+z=0 n • BC =-x=0

，取y=1，得

n

=（1，0，1），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
設平面A₁BC與平面ABCD所成的銳二面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

2

|=

2

2

，
∴平面A₁BC與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為

2

2

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．