分析 (Ⅰ)利用橢圓方程,求出焦點坐標,利用{x_0}=-\sqrt{2},在直線l的參數(shù)方程中,令x=0,求解即可.
(Ⅱ)解法1:把\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.代入橢圓方程,設點A、B對應的參數(shù)為tA、tB,由|F1B|=|AC|結(jié)合參數(shù)t的幾何意義得:tA+tB=tC,求解即可.
解法2:設A、B兩點的橫坐標分別為xA、xB,將直線l的普通方程y=tanθ(x+\sqrt{2})代入橢圓方程利用韋達定理,以及|F1B|=|AC|,求解即可.
解答 解:(Ⅰ)在橢圓\frac{x^2}{3}+{y^2}=1中,
∵a2=3,b2=1,∴c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{2},即{F_1}({-\sqrt{2},0}),--------------------------(2分)
故{x_0}=-\sqrt{2},在直線l的參數(shù)方程中,令x=0,解得{t_C}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosθ};--------------------(4分)
(Ⅱ)解法1:把\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.代入橢圓方程,
并整理得:({1+2{{sin}^2}θ}){t^2}-2\sqrt{2}tcosθ-1=0,----------------------------(6分)
設點A、B對應的參數(shù)為tA、tB,由|F1B|=|AC|結(jié)合參數(shù)t的幾何意義得:tA+tB=tC,
即\frac{{2\sqrt{2}cosθ}}{{1+2{{sin}^2}θ}}=\frac{{\sqrt{2}}}{cosθ},------------------------------(8分)
解得sinθ=\frac{1}{2},依題意知θ∈({0,\frac{π}{2}}),∴θ=\frac{π}{6}.----------------------------------(10分)
解法2:設A、B兩點的橫坐標分別為xA、xB,
將直線l的普通方程y=tanθ(x+\sqrt{2})代入橢圓方程并整理得:(1+3{tan^2}θ){x^2}+6\sqrt{2}{tan^2}θx+6{tan^2}θ-3=0,------------------------------------(6分)
則{x_A}+{x_B}=-\frac{{6\sqrt{2}{{tan}^2}θ}}{{1+3{{tan}^2}θ}},---------------------------(7分)
∵|{F_1}B|=\frac{{-{x_B}-\sqrt{2}}}{cosθ},|AC|=\frac{x_A}{cosθ}-----------------------------(8分)
∴{x_A}+{x_B}=-\sqrt{2}=-\frac{{6\sqrt{2}{{tan}^2}θ}}{{1+3{{tan}^2}θ}},
解得tanθ=±\frac{{\sqrt{3}}}{3},依題意知θ∈({0,\frac{π}{2}}),得θ=\frac{π}{6}.--------------------------------(10分)
點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用,參數(shù)方程的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 7 | B. | 8 | C. | 9 | D. | 10 |
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A. | {x|0≤x≤3} | B. | {1,2} | C. | {0,1,2} | D. | {0,1,2,3} |
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