Question

3．已知正數(shù)m，n的等比中項(xiàng)是2，且$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，則a+b的最小值是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 正數(shù)m，n的等比中項(xiàng)是2，可得mn=4，n=$\frac{4}{m}$．代入$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：正數(shù)m，n的等比中項(xiàng)是2，∴mn=4．可得n=$\frac{4}{m}$．
又$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，
則a+b=m+n+$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=m+$\frac{4}{m}$+$\frac{m}{4}$+$\frac{1}{m}$=5$（\frac{1}{m}+\frac{m}{4}）$≥5×$2\sqrt{\frac{1}{m}×\frac{m}{4}}$=5，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．