Question

15．對某產(chǎn)品1至6月份銷售量及其價格進行調查，其售價和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份	1	2	3	4	5	6
單價x（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
銷售量y（件）	11	10	8	6	5	14

（1）根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸直線方程；
（2）根據(jù)（1）的回歸方程計算6月份的殘差估計值；
（3）預計在今后的銷售中，銷售量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是2.5元/件，為獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）（參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=392，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=502.5）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸方程即可；
（2）利用回歸方程計算x=6時的估計值，計算誤差得出結論；
（3）求出利潤的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質得出利潤取最值時的x．

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，$\widehat$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5×102}$=-3.2，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=40．
∴y關于x的回歸直線方程是$\widehat{y}$=-3.2x+40．
（2）由（1）知，當x=6時，$\widehat{y}$=-3.2×6+40=20.8，
$\widehat{y}$-y=20.8-14=6.8；
（3）依題意，利潤L=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5），
所以當x=7.5時，利潤最大
所以該產(chǎn)品定價為7.5元時，利潤最大．

點評 本題考查了線性回歸方程的解法，數(shù)值估計，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．