Question

20．已知函數(shù)f（x）=x|x-4|．
（1）畫出f（x）的圖象，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）解不等式f（x）＜5；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a恰有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點分段法，得到函數(shù)的分段函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論滿足f（x）＜5的x范圍，綜合討論結(jié)果可得不等式f（x）＜5的解集；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a恰有三個零點，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a有三個交點，由（1）中圖象可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x＜4}^{\;}\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$
∴f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，2]，[4，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為[2，4]，
（2）當(dāng)x＜4時，f（x）=-x²+4x≤4恒成立，
當(dāng)x＞4時，解f（x）=x²-4x＜5得：-1＜x＜5，故4＜x＜5，
綜上所述不等式f（x）＜5的解集為：（-∞，5）；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a恰有三個零點，
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a有三個交點，
由（1）中圖象可得：a∈（0，4）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．